دنیای ریاضی به هم ریخت ، علامت = لزوما به معنی مساوی نیست! - مجله پزشکی

غزال زیاری: به نظر می رسد که ریاضی دانان نمی توانند در خصوص تعریف علامت مساوی (=) که دو چیز را باهم برابر می داند، به توافق برسند. این اختلاف ممکن است برای برنامه های رایانه ای که در آنالیز اثبات های ریاضی مورداستفاده قرار می گیرند، دردسرساز شود.

به گزارش خبرنگاران ، ده ها سال است که این دعوای آکادمیک برقرار است، اما شدت آن اخیراً اوج گرفته؛ دلیلش هم این است که برنامه های رایانه ای که برای اثبات رسمی یا آنالیز مدارک مورداستفاده قرار می گیرند، باید دستورالعمل های واضح و مشخصی داشته باشند و تعاریف مبهم از مفاهیم ریاضی که قابل تفسیرند یا به رایانه های زمینه تکیه دارند، در این راستا کارایی نخواهند داشت.

کوین بازارد، ریاضی دان بریتانیایی امپریال کالج لندن، در هنگام همکاری با برنامه نویسان کامپیوتری، با این مشکل روبرو شد. همین باعث شد تا او به بازبینی تعریف این برابر است با آن بپردازد و مفاهیم منطقی متعددی را در خصوص برابری به چالش بکشد.

بازارد دراین باره می نویسد: 6 سال پیش، فکر می کردم مفهوم تساوی را در ریاضی می دانم و این را اصطلاح کاملاً تعریف شده ای می دانستم؛ با آغاز کوشش هایم، ریاضیات سطوح بالا را در کامپیوتری که اثبات قضایا را انجام می داد، به کار گرفتم. در آن موقع کشف کردم که مفهوم برابری یا تساوی در ریاضی، به مراتب پیچیده تر از چیزی است که تا قبل از آن می دانستم.

تاریخچه مفهوم تساوی در ریاضی

سال 1557 بود که رابرت رکورد، ریاضیدان ولزی، علامت تساوی را (=) با دو خط موازی که به زیبایی نشان دهنده برابری بین اجسام دو طرف علامت است، به جهان معرفی کرد.

این مفهوم در ابتدا موردتوجه قرار نگرفت، اما باگذشت زمان، نماد شهودی آقای رکورد، جایگزین عبارت لاتین aequalis شد و بعدها علوم کامپیوتر را پایه گذاری کرد. 400 سال پس از معرفی این علامت به وسیله رابرت رکورد و در سال 1957، برای اولین بار از علامت مساوی به عنوان بخشی از زبان برنامه نویسی کامپیوتری FORTRAN I استفاده شد.

مفهوم تساوی در جهانی ریاضیات، تاریخچه به مراتب طولانی تری دارد و دست کم به یونان باستان برمی شود. بازارد دراین باره گفته که ریاضی دانان مدرن، در عمل از اصطلاح به نسبت آزاد برای مفهوم تساوی استفاده می نمایند.

در استفاده روزمره و آشنا برای ما، علامت تساوی در حقیقت تنظیم نماینده معادلاتی است که در ریاضیات ارزش یا معنی یکسانی دارند؛ یعنی چیزی که می تواند با چند تغییر و تبدیل منطقی ازیک طرف به طرف دیگر ثابت شود؛ مثلاً عدد صحیح 2 توصیف نماینده جمع یک جفت عدد (1 + 1) است.

اما تعریف دوم از مفهوم تساوی از اواخر قرن نوزدهم و با ظهور نظریه مجموعه ها در بین ریاضیدانان مورداستفاده نهاده شد. در آن موقع نظریه مجموعه ها تکامل یافت و بدین ترتیب تعریف ریاضیدانان از مفهوم برابری نیز توسعه پیدا کرد.

ایزومورفیسم متعارف در علم ریاضی

مجموعه ای مثل 1، 2، 3 را می توان مساوی (هم ارز) مجموعه ای مثل a, b, c در نظر گرفت؛ دلیلش وجود درکی ضمنی به نام ایزومورفیسم (یکریختی) متعارف است که شباهت های بین ساختار گروه ها را مقایسه می نماید.

بازارد دراین باره گفت: این مجموعه ها به روشی طبیعی باهم مطابقت دارند؛ ریاضی دانان متوجه شدند که اگر آن ها را هم برابر بدانیم، کار واقعاً راحت خواهد بود.

حالا و با در نظر گرفتن ایزومورفیسم (یکریختی) متعارف به معنای برابری، ریاضیدانانی که سعی می نمایند با استفاده از رایانه، اثبات هایی ازجمله مفاهیم بنیادی چند دهه ای را به شکلی رسمی ارائه دهند، با مشکلاتی جدی روبه رو می شوند.

بازارد با اشاره به کوشش های الکساندر گروتندیک، ریاضیدان قرن بیستم برای توصیف برابری در نظریه مجموعه ها گفت: هیچ یک از سیستم های رایانه ای موجود، شیوه استفاده ریاضی دانی مثل گروتندیک را از نماد مساوی درک نمی نمایند.

برخی از ریاضیدانان حالا بر این باورند که باید مفاهیم ریاضی را مجدداً تعریف کرد تا به طور رسمی ایزومورفیسم (یکریختی) متعارف با مفهوم مساوی یکی و برابر دانسته شود؛ اما بازارد مخالف این موضوع است و فکر می نماید که ناهماهنگی بین ریاضی دانان و ماشین ها، باید فکر ریاضی دانان را وادار کند که درباره منظور دقیق شان از مفاهیم پایه ای ریاضی مثل تساوی تجدیدنظر نمایند، به نحوی که رایانه ها بتوانند آن ها را درک نمایند.

او دراین باره می گوید: وقتی کسی مجبور می شود تا منظور واقعی اش را بنویسد و نمی تواند پشت کلماتی که به شکلی نادرست تعریف شده اند پنهان شود، درمی یابد که باید کارهای اضافی انجام دهد یا حتی درباره نحوه ارائه ایده های خاصش تجدیدنظر کند.

منبع: sciencealert

54321